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指印——新课标必修5第四单元参考资料

指印

  丹齐克

  古罗马历,一年月亮绕十个圈, 

  当时把这个数奉为至尊至上, 

  或者因为我们习惯了用手指来数数, 

  或者因为妇人怀胎十个月方才分娩, 

  再不然就因为数字增到了十,

  便回头来,从一开始循环。 

  ——奥维德(Ovid ),《岁时记》(Fasti)第三卷

  1

  人类在进化的蒙昧时期,就已经具有一种才能,这种才能,因为没有更恰当的名字,我姑且叫它为数觉。由于人有了这种才能,才在一个小的集合里边,增加或者送去一样东西的时候,尽管他未曾直接知道增减,他也能够辨认到其中有所变化。

  数觉和计数不能混为一谈。计数似乎是很晚以后才有的一种收获,由后文可以知道,它牵涉到一种颇为复杂的心理过程。就我们所知,计数是一种人类独具的特性;另一方面,有若干种动物看来也具有一种和我们相类似的原始数觉。至少,有权威的关于动物行为的观测家持有这种主张,而且有很多实例支持这种理论。

  例如,许多鸟类是具有这种数觉的。鸟巢里若是有四个卵,那么可以安然拿去一个;但是如果拿掉两个,这鸟通常就要逃走了。鸟会用某种奇怪的方法来辨别二和三。但是这种才能不仅限于鸟类。实际上,我们所知道的最惊人的例子要算叫做“独居蜂”(solitarywasp)的昆虫。这种母蜂在每个巢里下一个卵,并且在巢里面预先储藏了一批活的尺蠖,作为幼虫孵化后的食料。使人吃惊的是,各类独居蜂每巢里所放的尺蠖数目都是一定的:有些类放五条,有些放十二条,多的甚至于有二十四条的。最特别的是一种叫做蜾蠃(eumenus)的蜂,这种蜂雄的比雌的小得多。母蜂能用神秘的方法辨别孵化出来的幼虫是雄的还是雌的,并且据此相应地分配食品的数量;它并不去改变捕获物的大小和种类,只给雄卵储存五条尺蠖,给雌卵储存十条。

  由于蜂类行为的规律化,而且这种行为和它的生命的基本机能有密切的关系,所以上述例子不如下面的例子来得更加令人信服.这里所举的鸟的行为,似乎已经处于自觉的边缘了.

  有个田主决心要打死一只在他庄园的望楼里筑巢的乌鸦.他试了好多次想惊动它,始终没有成功:因为人一走近,乌鸦就离开了巢,飞开了.它栖在远远的树上守着,等到人离开了望楼,才肯飞回巢去.有一天,这田主定下了一个计策:两个人走进望楼,一个留着,一个走开了.但是乌鸦并不上当:它老等着,直到留在望楼里的人也走了出来才罢.这个试验一边作了几天:两个人,三个人,四个人,都没有成功.末了,用了五个人:也像以前一样,先都进了望楼,留一个在里面,其它四人走出来,离开了.这次乌鸦却数不清了;它不能辨别四与五,马上就飞回巢里去了.

2

  这个例证可以引起两种反驳的意见.第一,具有这种数觉的动物只限于极少的几类,而在哺乳动物中就没有发现这种才能,甚至猿猴也好像没有.第二,就已经知道的一切事例而言,动物数觉的范围实在太小,简直可以略而不论.

  第一点意见我们是承认的.这确乎是一个值得注意的事实:识数的才能,不论是这种形式或那种形式,看来总是限于几种昆虫,几种鸟类和整个人类.对于狗、马和其他家畜所做的实验和观察,都不曾发现它们有什么数觉。

  至于第二点意见,却没有多大价值,因为人类的数学范围也是十分有限的。寻常让一个文明人去辨别数目的时候,他总有意无意地用其他的技能,诸如对称图形读法、心计组合法、计数术等,来帮助他的直接数觉。特别是,计数已经变成我们智能的如此重要的组成部分,所以用心理学的方法来实验我们的关于数的知觉,实在是很困难的。但是,话虽如此,现在还是有了一些进展;根据精密安排的实验结果,不能不下结论说:普通文明人的直接视觉数觉,很少能超过四,至于触觉数觉,范围甚至还要小些。

  人类学上关于原始民族的研究,加强了这个结论的可信程度。从这些研究得知,还没有达到屈指计数阶段的野蛮人,几乎完全滑关于数的知觉。澳洲、南海群岛、南美洲和非洲的许多部族都是如此。柯尔(Curr)对于澳洲的原始民族有过广博的研究,他以为只有很少的土人能够辨别四,处于野居状态中的澳洲土人没有人能了解七。南非洲的布须曼(Bushmen)族,除了一、二和多之外,再没有别的数字了,而这三个字又是那么语调含糊,那些土人是否赋予了它们以明晰的意义,也还是个疑问。

  我们决没有理由相信,我们的远祖有更高的天赋,却有许多理由使我们怀疑这种想法,试看各种欧洲语言,几乎都带有这种早期局限性的痕迹。英文的Thrice和拉丁文的Ter,同样的有双重意义:三倍和许多。拉丁文的Tres(三)和Trans(超过)之间有着可信的联系;而法文的Tres(甚)和Trois(三)也是如此。

  数的产生,远在有史以前,详情已无法深究。究竟数的概念是从经验里边产生的,还是仅仅凭借经验之力,把早已隐藏在原始人心灵中的概念加以暴露而来的呢?这是一个吸引人的玄学问题,因而不在本书讨论的范围之内了。

  如果我们用现代野蛮民族的智力情况来推断我们远祖的发展史,我们不能不承认,在开始的时候也是非常幼稚的。一种比鸟类高强不了多少的原始的数觉,就是产生我们数概念的核心。毫无疑问,如果人类单凭这种直接的数的知觉,在计算的技术上,就不会比鸟类有什么进步。但是经历一连串的特殊的环境,人类在极为有限的数知觉之外,学会了另一种技巧来给他帮忙,这种技巧注定了使他们未来的生活受到巨大的影响。这种技巧就是计数,并且,正是由于有了计数,我们赢得了用数来表达我们的宇宙的惊人成就。

3

  有些原始语言对于虹的各种色彩都有专门的字,但是没有“色”这个字;又有些语言所有数字都 有,只是没有“数”这个字。其它的概念也有这样的情况。在英文中,对于某些特种集合,有丰富的本国语言的表现方法,例如:Flock(一群),Herd(一帮),Set(一套),Lot(一土堆),bunch(一束),分别适用于特殊的场合;然而Collection(集合)和Aggregate(集)这两个字却是外来语。

  具体的东西总在抽象的东西之先。罗素(Bertrand Russell)说:“不知道要经过多少 年,人类才发现一对锦鸡和两天同是数字2的例子。”到现在我们还有不少的字来表达2这个概念,如Pair,Couple,Set,Team,Twin,Brace等等。早期数概念的极端具体性,不列颠哥伦比亚的辛姆珊(Thimshian)族的语言是一个明显的例子、这种语言共有七种不同的数字:一种用于走兽和扁平的物体;一种用于时间和圆形的物体;一种用来数人的;一种是用于树木和长形物体的;一种是用于小艇的;一种是用来测量的;还有一种是在没有特定对象时计数用的。最后一种大概是后来才发展起来的。前几种必定是这族人还没有学会计数之前的早期遗物。

  正是计数,才使具体的、不同质的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念。前者是原始人的特点,后者则是数学发展的前提。

4
  然而,我们说,不用计数技术,也可以得出一种合乎逻辑的明晰的数概念,这虽然好像奇怪,但确是可能的。

  我们走进一个会堂。在我们面前的是两个集合:一个是会堂的座位,一个是出席的人。我闪不用计数,就可以知道这个个集合是否相等,如果不相等,哪个大些。因为要是所有的座位都坐满了,同时没有人站着,我们不用计数就知道两个集合相等。要是座位已经满了,而仍旧有人丫头,我们不用计数就知道人多而座位少了。

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